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[流体力学] 連続の式

November 21, 2019      

連続の式の導出

連続の式は流体力学における基礎式の1つで「流体の質量は突然出てきたり，突然消えたりしないよ」というごく自然なことを言っている．導出には，空間内に立方体の絵を描いて，xxから入ったものと，x+dxx+dxから出て行ったものの差を取って…というようなことも出来るようだ．ただ，ごちゃごちゃして混乱のもとなので，ガウスの発散定理を使ってすっきり導出する．

空間内の任意の領域Ω\Omegaについて考えよう．まず，この領域内にある流体の質量は∫ΩρdV\int_{\Omega} \rho dVと表せる．またこの領域の微小表面dsdsから流れ出る流体質量はρv⋅nds\rho \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} dsと表せる．この領域内の質量変化は領域の表面から流入・流出した質量を集計したものに等しいはずである．このことを式で表すと次のようになる．

∂∂t∫Ωρ dV=−∫∂Ωρv⋅n ds\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t} \int_{\Omega} \rho~ dV = - \int_{\partial \Omega} \rho \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n}~ds \end{equation}

着目する空間内の領域は時間について一定なので，左辺の時間微分は密度のみにかかる．右辺にはガウスの発散定理を適用して以下のように変形する．

∫∂ρ∂tdV=−∫div(ρv)dV∫[∂ρ∂t+div(ρv)]dV=0\begin{gather} \int \frac{\partial \rho}{\partial t} dV = - \int \mathrm{div} (\rho \boldsymbol{v}) dV \\ \int \left[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} (\rho \boldsymbol{v}) \right] dV = 0 \end{gather}

この関係が任意の領域について成り立つので，以下のように連続の式が得られる．

∂ρ∂t+div(ρv)=0\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzVol6_1.2} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div}(\rho \boldsymbol{v}) = 0 \end{equation}

圧縮性を考慮しない場合，ρ=const\rho=\mathrm{const}で以下の関係式が成り立つ．

div v=0\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzVol6_10.2} \mathrm{div}~ \boldsymbol{v}= 0 \end{equation}