連続の式の導出
連続の式は流体力学における基礎式の1つで「流体の質量は突然出てきたり,突然消えたりしないよ」というごく自然なことを言っている.導出には,空間内に立方体の絵を描いて,から入ったものと,から出て行ったものの差を取って…というようなことも出来るようだ.ただ,ごちゃごちゃして混乱のもとなので,ガウスの発散定理を使ってすっきり導出する.
空間内の任意の領域について考えよう.まず,この領域内にある流体の質量はと表せる.またこの領域の微小表面から流れ出る流体質量はと表せる.この領域内の質量変化は領域の表面から流入・流出した質量を集計したものに等しいはずである.このことを式で表すと次のようになる.
着目する空間内の領域は時間について一定なので,左辺の時間微分は密度のみにかかる.右辺にはガウスの発散定理を適用して以下のように変形する.
この関係が任意の領域について成り立つので,以下のように連続の式が得られる.
圧縮性を考慮しない場合,で以下の関係式が成り立つ.
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