今回は一次元流れでも最も基本的な場合，定常かつ等エントロピーな流れについて考える．まずは準備として等エントロピーを表す式と音速の導出を行い，その後で一次元定常等エントロピー流れについて議論する．
等エントロピーの式
等エントロピー流れに限っては，前記事で導出したエネルギーの式の変わりに，より簡単な等エントロピーの式を用いることが出来るので，ここで導出しておこう．
d s = d s e + d s i = d q e T + d q i T ≥ d q e T \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_1.74}
ds = ds_e + ds_i = \frac{dq_e}{T} + \frac{dq_i}{T} \ge \frac{dq_e}{T}
\end{equation} d s = d s e + d s i = T d q e + T d q i ≥ T d q e (1)のように，系のエントロピー変化を系と外部との熱の授受に伴う輸送エントロピーd s e ds_e d s e d s i ds_i d s i d s e = 0 ds_e=0 d s e = 0 d s e = d s i = 0 ds_e=ds_i=0 d s e = d s i = 0
d U = ∂ U ∂ S d S + ∂ U ∂ V d V + ∂ U ∂ N d N = T d S − P d V + μ d N \begin{equation}
% \label{eq:Shimizu_5.25}
dU = \frac{\partial U}{\partial S} dS + \frac{\partial U}{\partial V} dV + \frac{\partial U}{\partial N} dN = T dS - P dV + \mu dN
\end{equation} d U = ∂ S ∂ U d S + ∂ V ∂ U d V + ∂ N ∂ U d N = T d S − P d V + μ d N 物質の増減がないとすれば
T d s = d U + P d V = d h − V d P \begin{equation*}
Tds = dU + PdV = dh - VdP
\end{equation*} T d s = d U + P d V = d h − V d P これを比熱を用いて変形すると
d s = C p d T T − V d P T = C p d T T − R d P P = C p ( d P P − d ρ ρ ) − R d P P = C v d P P − C p d ρ ρ \begin{align*}
ds &= C_p \frac{dT}{T} - \frac{VdP}{T} = C_p \frac{dT}{T} - R \frac{dP}{P} \\
&= C_p \left( \frac{dP}{P} - \frac{d\rho}{\rho} \right) - R \frac{dP}{P} = C_v \frac{dP}{P} - C_p \frac{d\rho}{\rho}
\end{align*} d s = C p T d T − T V d P = C p T d T − R P d P = C p ( P d P − ρ d ρ ) − R P d P = C v P d P − C p ρ d ρ 等エントロピー変化d s = 0 ds=0 d s = 0
d p p = γ d ρ ρ o r d p p = γ γ − 1 d T T \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_1.80}
\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \hspace{10pt} \mathrm{or} \hspace{10pt} \frac{dp}{p} = \frac{\gamma}{\gamma - 1} \frac{dT}{T}
\end{equation} p d p = γ ρ d ρ or p d p = γ − 1 γ T d T 音速とマッハ数
次に音速とマッハ数について簡単に確認しておこう．理想的な非圧縮性流体では、微小な圧力変動は一瞬で流体全体に伝わることになるが，現実には流体の圧縮性により微小擾乱は有限の速度c c c v v v
p = p 0 + p ′ , ρ = ρ 0 + ρ ′ \begin{equation}
p = p_0 + p', ~~\rho = \rho_0 + \rho'
\end{equation} p = p 0 + p ′ , ρ = ρ 0 + ρ ′ 2次以上の微小量を無視すれば，連続の式およびオイラーの方程式は次のように表される．
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 d i v v = 0 \begin{equation*}
% \label{eq:perturbation}
\frac{\partial \rho'}{\partial t} + \rho_0\ \mathrm{div}\ \boldsymbol{v} = 0
\end{equation*} ∂ t ∂ ρ ′ + ρ 0 div v = 0 ∂ v ∂ t + 1 ρ 0 g r a d p ′ = 0 \begin{equation}
\frac{\partial \boldsymbol{v}}{\partial t} + \frac{1}{\rho_0}\ \mathrm{grad}\ p' = 0
\end{equation} ∂ t ∂ v + ρ 0 1 grad p ′ = 0 ここで速度ポテンシャルv = g r a d ϕ \boldsymbol{v} = \mathrm{grad}\ \phi v = grad ϕ
p ′ = − ρ 0 ∂ ϕ ∂ t \begin{equation}
p' = -\rho_0 \frac{\partial \phi}{\partial t}
\end{equation} p ′ = − ρ 0 ∂ t ∂ ϕ − ∂ ∂ t ( ∇ ϕ ) = 1 ρ 0 ∇ p ′ → ∇ ( − ρ 0 ∂ ∂ t ϕ ) = ∇ p ′ \begin{gather*}
- \frac{\partial}{\partial t} (\nabla \phi) = \frac{1}{\rho_0} \nabla p' ~ \to ~
\nabla \left( - \rho_0 \frac{\partial}{\partial t} \phi \right) = \nabla p'
\end{gather*} − ∂ t ∂ ( ∇ ϕ ) = ρ 0 1 ∇ p ′ → ∇ ( − ρ 0 ∂ t ∂ ϕ ) = ∇ p ′ 音波のような微小圧力変動では流体の粘性や熱伝導性の影響は無視でき，等エントロピー変化と考えられるとする．するとp p p ρ \rho ρ
p ′ = ρ ′ ∂ p ∂ ρ \begin{equation}
% \label{eq:p'}
p' = \rho' \frac{\partial p}{\partial \rho}
\end{equation} p ′ = ρ ′ ∂ ρ ∂ p 速度ポテンシャルと(7)を用いて，連続の式を変形する．
∂ ∂ t ( − ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ) + ρ 0 ( ∂ p ∂ ρ ) s ∇ ⋅ ∇ ϕ = 0 \begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial t} \left( - \rho_0 \frac{\partial \phi}{\partial t} \right) + \rho_0 \left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_s \nabla \cdot \nabla \phi = 0
\end{equation*} ∂ t ∂ ( − ρ 0 ∂ t ∂ ϕ ) + ρ 0 ( ∂ ρ ∂ p ) s ∇ ⋅ ∇ ϕ = 0 − ρ 0 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 + ρ 0 ( ∂ p ∂ ρ ) s Δ ϕ = 0 \begin{equation}
- \rho_0 \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} + \rho_0 \left( \frac{\partial p}{\partial \rho} \right)_s \Delta \phi = 0
\end{equation} − ρ 0 ∂ t 2 ∂ 2 ϕ + ρ 0 ( ∂ ρ ∂ p ) s Δ ϕ = 0 結果として以下の波動方程式の形が得られるので，音波の速度がc c c
∂ 2 ϕ ∂ t 2 − c 2 Δ ϕ = 0 , w h e r e c = ( ∂ p ∂ ρ ) s \begin{equation}
% \label{eq:LandauLifshitzVol6_64.7}
\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} - c^2 \Delta \phi = 0, ~~ \mathrm{where}\ c = \sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_s}
\end{equation} ∂ t 2 ∂ 2 ϕ − c 2 Δ ϕ = 0 , where c = ( ∂ ρ ∂ p ) s マッハ数は流速u u u c c c
M ≡ u c \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_2.18}
M \equiv \frac{u}{c}
\end{equation} M ≡ c u 等エントロピー流れの特徴
一次元定常等エントロピー流れの支配方程式は次のように書き表せる．
S t a t e E q u a t i o n : d p p = d ρ ρ + d T T \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_1.39}
\mathrm{State~Equation:}\ \frac{dp}{p} = \frac{d\rho}{\rho} + \frac{dT}{T}
\end{equation} State Equation : p d p = ρ d ρ + T d T E q u a t i o n o f C o n t i n u i t y : d ρ ρ + d u u + d A A = 0 \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_3.5}
\mathrm{Equation~of~Continuity:}\ \frac{d \rho}{\rho} + \frac{du}{u} + \frac{dA}{A} = 0
\end{equation} Equation of Continuity : ρ d ρ + u d u + A d A = 0 E q u a t i o n o f M o t i o n : v z d v z + 1 ρ d p = 0 \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_3.15}
\mathrm{Equation~of~Motion:}\ v_z d v_z + \frac{1}{\rho} dp = 0
\end{equation} Equation of Motion : v z d v z + ρ 1 d p = 0 E q u a t i o n o f E n e r g y : d p p − γ d ρ ρ = 0 \begin{equation}
\mathrm{Equation~of~Energy:}\ \frac{dp}{p} - \gamma \frac{d \rho}{\rho} = 0
\end{equation} Equation of Energy : p d p − γ ρ d ρ = 0 断面積変化d A / A dA/A d A / A
v z d v z = − d p ρ = − d p d ρ d ρ ρ = − c 2 d ρ ρ \begin{equation*}
v_z d v_z = - \frac{dp}{\rho} = - \frac{dp}{d\rho} \frac{d\rho}{\rho} = - c^2 \frac{d\rho}{\rho}
\end{equation*} v z d v z = − ρ d p = − d ρ d p ρ d ρ = − c 2 ρ d ρ 両辺をc 2 c^2 c 2
d ρ ρ = − M 2 d v z v z \begin{equation*}
\frac{d\rho}{\rho} = -M^2 \frac{d v_z}{v_z}
\end{equation*} ρ d ρ = − M 2 v z d v z 上式を連続の式(12)に代入してd ρ / ρ d\rho/\rho d ρ / ρ d v z / v z d v_z/v_z d v z / v z
d v z v z = 1 M 2 − 1 d A A \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_4.7}
\frac{d v_z}{v_z} = \frac{1}{M^2 - 1} \frac{dA}{A}
\end{equation} v z d v z = M 2 − 1 1 A d A d ρ ρ = − M 2 M 2 − 1 d A A \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_4.8}
\frac{d \rho}{\rho} = - \frac{M^2}{M^2 - 1} \frac{dA}{A}
\end{equation} ρ d ρ = − M 2 − 1 M 2 A d A (16)に等エントロピーの式(3)を用いる．
d p p = − γ M 2 M 2 − 1 d A A \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_4.9}
\frac{d p}{p} = - \frac{\gamma M^2}{M^2 - 1} \frac{dA}{A}
\end{equation} p d p = − M 2 − 1 γ M 2 A d A (16)と(17)を状態方程式(11)に代入する．
d T T = − ( γ − 1 ) M 2 M 2 − 1 d A A \begin{equation}
% \label{eq:Matsuo_4.10}
\frac{d T}{T} = - \frac{(\gamma - 1) M^2}{M^2 - 1} \frac{dA}{A}
\end{equation} T d T = − M 2 − 1 ( γ − 1 ) M 2 A d A 音速の式c 2 = γ R T c^2 = \gamma R T c 2 = γ RT
d c c = − ( γ − 1 ) M 2 2 ( M 2 − 1 ) d A A \begin{equation}
\frac{dc}{c} = - \frac{(\gamma - 1)M^2}{2 (M^2 - 1)} \frac{dA}{A}
\end{equation} c d c = − 2 ( M 2 − 1 ) ( γ − 1 ) M 2 A d A マッハ数の式M = v z / c M = v_z/c M = v z / c
d M M = − 2 + ( γ − 1 ) M 2 2 ( 1 − M 2 ) d A A \begin{equation}
\frac{dM}{M} = - \frac{2+ (\gamma - 1)M^2}{2 (1- M^2)} \frac{dA}{A}
\end{equation} M d M = − 2 ( 1 − M 2 ) 2 + ( γ − 1 ) M 2 A d A 音速の式c 2 = γ R T c^2 = \gamma R T c 2 = γ RT
2 d c c = d T T \begin{equation}
2 \frac{dc}{c} = \frac{dT}{T}
\end{equation} 2 c d c = T d T マッハ数の式M = v z / c M = v_z/c M = v z / c
d M M = d v z v z − d c c \begin{equation}
\frac{dM}{M} = \frac{dv_z}{v_z} - \frac{dc}{c}
\end{equation} M d M = v z d v z − c d c 以上の式を用いると，断面積変化d A dA d A M M M 0 < M < 1 0<M<1 0 < M < 1 d A < 0 dA<0 d A < 0 0 < M < 1 0<M<1 0 < M < 1 d A > 0 dA>0 d A > 0
Parameter
d A < 0 dA<0 d A < 0 M < 1 M<1 M < 1 d A < 0 dA<0 d A < 0 M > 1 M>1 M > 1 d A > 0 dA>0 d A > 0 M < 1 M<1 M < 1 d A > 0 dA>0 d A > 0 M > 1 M>1 M > 1
Velocity v z v_z v z
increase
decrease
decrease
increase
Mach Number M M M
increase
decrease
decrease
increase
Pressure p p p
decrease
increase
increase
decrease
Density ρ \rho ρ
decrease
increase
increase
decrease
Temperature T T T
decrease
increase
increase
decrease
Sound c c c
decrease
increase
increase
decrease
まとめと参考文献
今回の内容は