Blog

[量子力学] 準古典的な系

April 25, 2020      

準古典的な系の波動関数

多数の粒子からなる準古典的な系について議論しよう．シュレーディンガー方程式を以下のように表す．

∑aℏ2maΔaψ+(E−U)ψ=0\begin{equation} \sum_a \frac{\hbar^2}{m_a} \Delta_a \psi + (E - U) \psi = 0 \end{equation}

これに波動関数ψ=eiS/ℏ\psi = e^{iS/\hbar}を代入する．

∑a1ma(∇aS)2−∑aiℏ2maΔaS=E−U\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.2} \sum_a \frac{1}{m_a}(\nabla_a S)^2 - \sum_a \frac{i\hbar}{2m_a} \Delta_a S = E - U \end{equation}

ただし波動関数のラプラシアンは以下のように整理した．以前の議論で「SSは作用（action）でラグランジアンの汎関数である」ということを仮定したが，今の時点ではそのことを前提としていないことに注意しよう．

Δψ=ΔeiℏS=∇⋅∇eiℏS=∇⋅[∂∂xeiℏS∂∂yeiℏS∂∂zeiℏS]=∇⋅[iℏ∂S∂xeiℏSiℏ∂S∂yeiℏSiℏ∂S∂zeiℏS]=iℏ[∂2S∂x2eiℏS+ iℏ(∂S∂x)2eiℏS]+iℏ[∂2S∂y2eiℏS+ iℏ(∂S∂y)2eiℏS]+iℏ[∂2S∂z2eiℏS+ iℏ(∂S∂z)2eiℏS]=[iℏΔS−1ℏ2(∇S⋅∇S)]eiℏS\begin{align*} &\Delta \psi = \Delta e^{\frac{i}{\hbar}S} = \nabla \cdot \nabla e^{\frac{i}{\hbar}S} = \nabla \cdot \left[ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x} e^{\frac{i}{\hbar}S} \\ \frac{\partial}{\partial y} e^{\frac{i}{\hbar}S} \\ \frac{\partial}{\partial z} e^{\frac{i}{\hbar}S} \end{array} \right] = \nabla \cdot \left[ \begin{array}{l} \frac{i}{\hbar} \frac{\partial S}{\partial x} e^{\frac{i}{\hbar}S} \\ \frac{i}{\hbar} \frac{\partial S}{\partial y} e^{\frac{i}{\hbar}S} \\ \frac{i}{\hbar} \frac{\partial S}{\partial z} e^{\frac{i}{\hbar}S} \end{array} \right] \\ &= \frac{i}{\hbar} \left[ \frac{\partial^2 S}{\partial x^2} e^{\frac{i}{\hbar}S} +  \frac{i}{\hbar} \left( \frac{\partial S}{\partial x} \right)^2 e^{\frac{i}{\hbar}S} \right] + \frac{i}{\hbar} \left[ \frac{\partial^2 S}{\partial y^2} e^{\frac{i}{\hbar}S} +  \frac{i}{\hbar} \left( \frac{\partial S}{\partial y} \right)^2 e^{\frac{i}{\hbar}S} \right] + \frac{i}{\hbar} \left[ \frac{\partial^2 S}{\partial z^2} e^{\frac{i}{\hbar}S} +  \frac{i}{\hbar} \left( \frac{\partial S}{\partial z} \right)^2 e^{\frac{i}{\hbar}S} \right] \\ &= \left[ \frac{i}{\hbar} \Delta S - \frac{1}{\hbar^2} (\nabla S \cdot \nabla S) \right] e^{\frac{i}{\hbar}S} \end{align*}

ここでSSとして，ℏ\hbarより十分大きい項，ℏ\hbar程度の項，ℏ2\hbar^2程度の項，…の和という形を仮定する．

S=S0+ℏiS1+(ℏi)2S2+⋯\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.3} S = S_0 + \frac{\hbar}{i} S_1 + \left( \frac{\hbar}{i} \right)^2 S_2 + \cdots \end{equation}

1次元の場合に限れば以下のように書き直せる．

S′22m−iℏS′′2m=E−U(x)\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.4} \frac{S'^2}{2m} - i \hbar \frac{S''}{2m} = E - U(x) \end{equation}

最初の近似としてℏ\hbarについて1次以上の項を無視すると，次の関係が得られる．

S0′22m=E−U(x)S0′=±2m[E−U(x)]\begin{gather} \frac{{S'_0}^2}{2m} = E - U(x) \\ S'_0 = \pm \sqrt{2m [E - U(x)]} \end{gather}

積分の中身は運動量p(x)p(x)になっている（2mK=mv\sqrt{2m K} = mv）．古典的な系であればE≤U(x)E \le U(x)の範囲での運動しか実現しないので，ルートの中は正である．

S0=±∫2m[E−U(x)]dx=±∫pdx,  p=2m[E−U(x)]\begin{align} S_0 &= \pm \int \sqrt{2m [E - U(x)]} dx \\ &= \pm \int p dx, ~~ p = \sqrt{2m[E - U(x)]} \end{align}

この関係が成り立つためには，(4)の2項目が1項目に比べて十分小さくなければならない．

∣ddx(ℏS′)∣ ≪1,  where ddx(ℏS′)=−ℏS′′S′2\begin{gather} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.6} \left| \frac{d}{dx} \left( \frac{\hbar}{S'} \right) \right|  \ll 1, ~~ \mathrm{where}~ \frac{d}{dx} \left( \frac{\hbar}{S'} \right) = - \frac{\hbar S''}{S'^2} \end{gather}

S′=pS' = pと代入してやれば(9)は次のように書き換えられる．

mℏ∣F∣p3≪1\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.7} \frac{m \hbar |F|}{p^3} \ll 1 \end{equation}

ただし変形には以下の関係を用いた．

dpdx=ddx2m[E−U(x)]=122m[E−U(x)]ddx(2m[E−U(x)])=−mpdU(x)dx=mFp\begin{align*} \frac{dp}{dx} &= \frac{d}{dx} \sqrt{2m[E - U(x)]} = \frac{1}{2\sqrt{2m[E - U(x)]}} \frac{d}{dx} \left( 2m[E - U(x)] \right) \\ &= - \frac{m}{p} \frac{dU(x)}{dx} = \frac{mF}{p} \end{align*}

(10)から，運動量が非常に小さい時は近似が成り立たないことがわかる．特にp(x)=0p(x)=0あるいは，E=U(x)E=U(x)となる点においては明らかに不成立である．そこで次に，ℏ\hbarの1次の項まで含めた場合について考える．S=S0+ℏiS1S = S_0 + \frac{\hbar}{i} S_1を(4)に代入し，2次以上の項は無視して整理すると以下の通り．

(S0′+ℏiS1′)2−iℏ(S0′′+ℏiS1′′)=2m[E−U(x)]S0′2+2ℏiS0′S1′−iℏS0′′=2m[E−U(x)]2S0′S1′+S0′′=0\begin{gather} \left( S'_0 + \frac{\hbar}{i} S'_1 \right)^2 - i\hbar \left( S''_0 + \frac{\hbar}{i} S''_1 \right) = 2m [E - U(x)] \\ {S'_0}^2 + \frac{2\hbar}{i} S'_0 S'_1 - i\hbar S''_0 = 2m [E - U(x)] \\ 2 S'_0 S'_1 + S''_0 = 0 \end{gather}
S1′=−S0′′2S0′S1=−12log⁡(S0′)=−12log⁡p\begin{gather} S'_1 = -\frac{S''_0}{2 S'_0} \\ S_1 = -\frac{1}{2} \log (S'_0) = -\frac{1}{2} \log p \end{gather}

よってℏ\hbarの1次の項まで考慮したSSは以下の通り．

S=±∫pdx−12log⁡p\begin{equation} S = \pm \int p dx - \frac{1}{2} \log p \end{equation}

これをもともと仮定した波動関数ψ=eiS/ℏ\psi = e^{iS/\hbar}に代入すると，以下の形で一般解を表すことができる．

ψ=c1peiℏ∫pdx+c2pe−iℏ∫pdx\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.9} \psi = \frac{c_1}{\sqrt{p}} e^{\frac{i}{\hbar} \int p dx} + \frac{c_2}{\sqrt{p}} e^{-\frac{i}{\hbar} \int p dx} \end{equation}
eiℏS=exp⁡[iℏ(±∫pdx−12log⁡p ×ℏi)]=exp⁡[±iℏ∫pdx]×exp⁡[−12log⁡p]\begin{equation} e^{\frac{i}{\hbar}S} = \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \left( \pm \int p dx - \frac{1}{2} \log p  \times \frac{\hbar}{i} \right) \right] = \exp \left[ \pm \frac{i}{\hbar} \int p dx \right] \times \exp \left[ - \frac{1}{2} \log p \right] \end{equation}

一方で古典的には生じないE<U(x)E < U(x)の範囲については，以下のように表すことができる．

ψ=c1∣p∣e1ℏ∫∣p∣dx+c2∣p∣e−1ℏ∫∣p∣dx\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_46.10} \psi = \frac{c_1}{\sqrt{|p|}} e^{\frac{1}{\hbar} \int |p| dx} + \frac{c_2}{\sqrt{|p|}} e^{-\frac{1}{\hbar} \int |p| dx} \end{equation}

準古典的な系の境界条件

x=ax=aをU(a)=EU(a)=Eとなるポテンシャルの境界とする．このとき境界の右側と左側での解は次のように表される．

ψ=c∣p∣exp⁡[−1ℏ∫xa∣p∣dx],  for x>a\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_47.1} \psi = \frac{c}{\sqrt{|p|}} \exp\left[ -\frac{1}{\hbar} \int_x^a |p| dx \right], ~~ \mathrm{for}~ x>a \end{equation}
ψ=c1pexp⁡[iℏ∫axpdx]+c2pexp⁡[−iℏ∫axpdx],   for x<a\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_47.2} \psi = \frac{c_1}{\sqrt{p}} \exp \left[\frac{i}{\hbar} \int_a^x p dx \right] + \frac{c_2}{\sqrt{p}} \exp \left[-\frac{i}{\hbar} \int_a^x p dx \right],  ~~ \mathrm{for}~ x<a \end{equation}

これらの係数を決定するために，境界x=ax=aで接続するための条件を考えよう．まず，x=ax=a付近でのポテンシャルを次のように近似する．

E−U(x)=F0(x−a),  where F0=−dUdx∣x=a<0\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_47.3} E - U(x) = F_0(x-a),~~ \mathrm{where}~ F_0 = - \left.\frac{dU}{dx}\right|_{x=a} < 0 \end{equation}

これをp=2m[E−U(x)]p = \sqrt{2m[E -U(x)]}に代入すると，運動量の積分は次のように計算できる．

1ℏ∫axp dx=1ℏ∫ax2m[E−U(x)]dx=1ℏ∫ax2mF0(x−a)12dx=2mF0ℏ23[(x−a)32]ax=23ℏ2mF0(x−a)32\begin{align} &\frac{1}{\hbar} \int_a^x p~dx = \frac{1}{\hbar} \int_a^x \sqrt{2m[E -U(x)]} dx = \frac{1}{\hbar} \int_a^x \sqrt{2mF_0} (x-a)^\frac{1}{2} dx \\ &= \frac{\sqrt{2mF_0}}{\hbar} \frac{2}{3} \left[ (x-a)^\frac{3}{2} \right]^x_a = \frac{2}{3\hbar} \sqrt{2mF_0} (x-a)^\frac{3}{2} \end{align}

ボーア・ゾンマーフェルトの量子化条件

ψ=cpcos⁡[1ℏ∫bxpdx−π4]right side of x=bψ=c′pcos⁡[1ℏ∫xapdx−π4] left side of x=a\begin{align} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_48.1} &\psi = \frac{c}{\sqrt{p}} \cos \left[ \frac{1}{\hbar} \int_b^x p dx - \frac{\pi}{4} \right] && \mathrm{right~side~of~} x=b \\ &\psi = \frac{c'}{\sqrt{p}} \cos \left[ \frac{1}{\hbar} \int_x^a p dx - \frac{\pi}{4} \right] && \mathrm{left~side~of~} x=a \end{align}

左側を基準に考えれば，x=bx=bで位相が−π4-\frac{\pi}{4}で，そこから1ℏ∫bxpdx\frac{1}{\hbar} \int_b^x pdxに従って位相が増えていく．c=c′c=c'の場合，x=ax=aでの位相が±π4+2nπ\pm \frac{\pi}{4} + 2n\piになっていればx=ax=aでのcos⁡\cosの値は一致するが，その他の点でも一致するためにはπ4+2nπ\frac{\pi}{4} + 2n\piでなければならない．結局(25, 26)の2式が一致するためには，位相について次の関係が成り立つ必要がある．

if c=c′:1ℏ∫bapdx−π4=π4+2nπif c=−c′:1ℏ∫bapdx−π4=π4+π+2nπ\begin{align} &\mathrm{if~} c=c': &&\frac{1}{\hbar} \int^a_b p dx - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2n \pi \\ &\mathrm{if~} c=-c': &&\frac{1}{\hbar} \int^a_b p dx - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}+ \pi + 2n \pi \end{align}

まとめて書けば次のように表される．

1ℏ∫bapdx−π2=nπ,  with c=(−1)nc′\begin{equation} \frac{1}{\hbar} \int^a_b p dx - \frac{\pi}{2} = n \pi, ~~\mathrm{with}~ c = (-1)^n c' \end{equation}

周期的な運動の1周分の積分を∮pdx=2∫bapdx\oint p dx = 2 \int_b^a p dxとして書き直すと，(30)の関係が得られる．これはBohr-Sommerfeldの量子化条件に対応する．

12πℏ∮pdx=n+12\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_48.2} \frac{1}{2\pi \hbar} \oint p dx = n + \frac{1}{2} \end{equation}

さて∮pdx\oint pdxという積分は，xp平面上の面積と考えることもできる．この領域をn分割すると，分割された領域ひとつひとつの面積は（およそ）2πℏ2\pi\hbarとなる．一方でnという数は系のエネルギー状態に番号を付けたもの（量子数）に対応する．つまりひとつのエネルギー状態はxp平面上の2πℏ2\pi\hbarの面積に対応している．さらに言い換えれば，xp平面上のΔpΔx\Delta p \Delta xの面積には(31)だけのエネルギー状態が対応している，と考えられる．

ΔpΔx2πℏ\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitz_Quantum_48.4} \frac{\Delta p \Delta x}{2\pi \hbar} \end{equation}