形態係数（View Factor）とは

January 29, 2022 Thermal

View Factorの具体的な値が知りたい方はこちらへ： View Factor Calculation: Analytical and Monte Carlo Method

熱輻射と形態係数（View Factor）の関係

どんな物体も，表面から常に電磁波としてエネルギーを放射している．ある物体Aからエネルギーが放射され別の物体Bに当たって吸収されれば，輻射によって熱が伝えられた，ということになる．このときどれだけのエネルギーが伝わったのかを推定するためには，ざっくり以下の3点を知りたい．

物体Aからどれだけエネルギーが放射されているのか？
物体Aから放射されたエネルギーのうちどれだけの量が，物体Bに当たったのか？
物体Bに当たったエネルギーのうちどれだけが（反射したり透過したりせずに）吸収されたのか？

このうち2点目の「物体Aから放射されたエネルギーのうちどれだけの量が，物体Bに当たったのか？」に関しては，物体ABの物質の特性やその時の温度に依らず，純粋に形と位置関係によってのみ決まる．これを事前に計算しておいて，何度も使えるパラメタとして準備しておこうというのがView Factorのアイデアだ（一方で，それぞれの物体が変形したり，位置関係が変わってしまった場合は，計算しなおさないといけない）．注意点として，ここでは理想的な粗面（diffusive surface）についてのみ考えるものとする．

立体角

View Factorの議論をする前に立体角の定義について確認しておこう．立体角とは感覚的には「ある点から物体を見たときに，その物体が視野のうちどれだけの割合を占めるか」を表す．もう少し具体的には次のような量である．

ある微小表面 $dA_i$ とそれを取り囲むような，半径1の半球を考える．ある物体を微小表面 $dA_i$ から見たときに，半径1の半球上に投影して面積Aだけの領域を占めるのであれば，立体角を $A$ とする．もし，微小表面 $dA_i$ の視野全体を占めるような物体があれば，微小表面からその物体への立体角は半径1の半球の表面積 $2\pi$ となる．

では，微小表面 $dA_i$ から微小表面 $dA_j$ への立体角をきちんと数式で定義しよう． 2つの微小表面間の距離を $S$ ，微小表面の法線ベクトルを視線方向とのなす角をそれぞれ $\theta_i$ , $\theta_j$ とする．このとき，微小表面 $dA_i$ から微小表面 $dA_j$ を見たとき，半径1の半球上への投影面積は次のように表すことが出来る．

\begin{equation} d\Omega = \frac{dA_j \cos \theta_j}{S^2} \end{equation}

微小表面 $dA_i$ から，何かしらの広さを持った領域への立体角は(1)を積分すればよい．

\begin{equation} \Omega = \int_A \frac{dA_j \cos \theta_j}{S^2} \end{equation}

形態係数（View Factor）の定義

最も基本的な場合として，微小表面 $dA_i$ から $dA_j$ へのView Factorを(3)のように定義する．これは微小表面 $dA_i$ から放射された熱と，そのうち微小表面 $dA_j$ へ当たった熱の比を表している．

\begin{equation} dF_{dA_i-dA_j} \equiv \frac{\mathrm{diffuse~energy~directly~hitting~} dA_j}{\mathrm{total~diffuse~energy~from~} dA_i} \end{equation}

粗面から放射される熱は，放射方向に依存して単位立体角当たり $I \cos \theta$ という形に表される（ランベルトの余弦則）．これを用いると， $dA_i$ から放射される熱の合計は次のようになる．ただし， $\varphi$ はazimuth方向（周方向）の角度を表す．

\begin{equation} dA_i \int_0^{2\pi} \int_0^\frac{\pi}{2} I \cos \theta d\Omega = dA_i \int_0^{2\pi} \int_0^\frac{\pi}{2} I \cos \theta \sin \theta d\theta d\phi = \pi I dA_i \end{equation}

次に $dA_i$ から放射されて， $dA_j$ に当たる熱は次のように表される．ただし $S$ は微小表面 $dA_i$ から微小表面 $dA_j$ への距離を表している．

\begin{equation} I \cos \theta_i dA_i d\Omega = I \cos \theta_i dA_i \frac{dA_j \cos \theta_j}{S^2} \tag{4} \end{equation}

よって定義から，微小表面 $dA_i$ から $dA_j$ へのView Factorは次のように表される．

\begin{equation} dF_{dA_i-dA_j} = \frac{\cos \theta_i \cos \theta_j}{\pi S^2} dA_j \end{equation}

ランベルトの余弦則 / Lambert’s Law

ここまでの議論で分かるように，View Factorは粗面（ランベルトの余弦則）の仮定の下でのみ有用なパラメタである．ランベルトの余弦則の主張は「粗面から放射される熱は，放射方向に依存して単位立体角当たり $I \cos \theta$ という形に表される」だが，この法則をより直感的に理解するために，次のように言い換えてみよう．

大きさ $A$ の面があったときに，その面をいろいろな方向からのぞいてみる．正面から見ればその面の大きさは確かに $A$ だが何らかの角度をつけて見れば，見かけの面積は $A \cos \theta$ となる．つまりランベルトの余弦則は「ある面から放射される熱は見かけの面積に比例する」と言い換えることも出来る．逆にもし，放射熱量が方向に依存せず一定だとすると，ある面を斜めから見た方が，正面から見た場合よりもエネルギー密度（輝度）が高い．平たく言えばより明るく見えるということになってしまう．このように考えると，ランベルトの余弦則は感覚的にも自然な主張と言えそうだ．

さらに理解を進めるため，理想的に次のような状況を考えよう．ある微小表面 $dA$ とそれを取り囲むような内部が真空で半径 $R$ の球があるとする．球の内側表面にはある一部分 $dA_s$ だけ黒体部分があり，残りは理想的な鏡面反射面とする． $dA_s$ の外側表面は断熱で， $dA_s$ と球面のほかの部分とは熱伝導はない．また，微小表面 $dA$ は $\boldsymbol{n}$ 方向は黒体で，反対側は断熱とする．つまり， $dA$ と $dA_s$ との間にのみ輻射熱交換があるような状況を作ったわけである．

ある面から放射される熱量が，温度に依存した関数と角度に依存した関数の積で表されるとして $E(T) I(\theta)$ と書こう．このとき $dA$ から $dA_s$ へ移動する熱は(6)となる．ただし， $d\Omega_{dA \to dA_s}$ は $dA$ から $dA_s$ を見た場合の立体角だ．

\begin{equation} E(T) I (\theta) dA d\Omega_{dA-dA_s} = E(T) I (\theta) dA \frac{dA_s}{R^2} \end{equation}

一方， $dA_s$ から $dA$ へ移動する熱は(7)となる．ちなみに，放射された熱のうち相手面に直接当たらなかったものについては，全て反射されて自分に戻ってくるような問題設定になっている．

\begin{equation} E(T_s) I \left( \frac{\pi}{2} \right) dA_s d\Omega_{dA_s-dA} = E(T_s) I \left( \frac{\pi}{2} \right) dA_s \frac{\cos \theta dA}{R^2} \end{equation}

十分な時間この系を放置して平衡状態になったとする．すると(6)と(7)は等しいので，以下の関係が成り立つはずだ．

\begin{equation} E(T)I(\theta) = E(T_s) I \left( \frac{\pi}{2} \right) \cos \theta \end{equation}

よって平衡状態で微小面の温度が常に等しくなるのであれば，次の関係が成り立つ．これは期待していたランベルトの余弦則である．

\begin{equation} I(\theta) = I \left( \frac{\pi}{2} \right) \cos \theta \end{equation}