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ハニカムパネルの熱伝導率

October 16, 2022      

ハニカムパネルは，軽量・高剛性な優れた構造材料として宇宙分野でもよく用いられるが，軽量であるがゆえ熱伝導率はサイズに対して低く，剛性と同様に方向に依存した特性を持つ． 人工衛星等のシステムの一部としてハニカムパネルの熱解析をする際には，ハニカムコアの形状をそのままモデル化するのは現実的でないので，”ハニカムパネル”として等価な密度・熱伝導率を事前に計算して，材料パラメタとしてモデルに入れ込んでやる必要がある．今回はこれらの推定方法について考えてみよう．

ハニカムコアの密度と熱伝導率

おそらく一般的なのは，単純にコアの寸法から各方向の熱伝導率を計算する方法1なので，これについて確認してみよう．今回はコアの形状は正六角形とするが，もし少し潰れた六角形だったりしても基本的な考え方は同じだ． あと，ハニカムコアはシート状のコア材料を整形して貼り合わせて作るので，コア壁面の厚さは方向によって異なる．

まず，密度ρeff\rho_{\mathrm{eff}}に関しては， 水平方向の断面を見たときの，コア材料の占める割合を考えればよい．

Reference Area:   S2×(S23+S3)=34S2Core Material Area:   δ×(S3+S3)=23Sδ\begin{align} \mathrm{Reference~Area:}&~~~ \frac{S}{2} \times \left( \frac{S}{2\sqrt{3}} + \frac{S}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\sqrt{3}}{4}S^2 \\ \mathrm{Core~Material~Area:}&~~~ \delta \times \left( \frac{S}{\sqrt{3}} + \frac{S}{\sqrt{3}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}}S\delta \\ \end{align}
ρeff=23Sδ×ρ34S2=8δρ3S\begin{equation} \rho_\mathrm{eff} = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}S\delta \times \rho}{\frac{\sqrt{3}}{4}S^2} = \frac{8\delta \rho}{3S} \end{equation}
kH=23Sδ×ρ34S2=8δρ3S\begin{equation} k_H = \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}S\delta \times \rho}{\frac{\sqrt{3}}{4}S^2} = \frac{8\delta \rho}{3S} \end{equation}

厚み方向の熱伝導を，コア材料の熱伝導率kkと，厚み方向の実効熱伝導率kHk_Hを用いてそれぞれ表す．

k×23Sδh=2kSδ3h  [W/K]kH×34S2h=3kHS24h  [W/K]\begin{gather} \frac{k\times \frac{2}{\sqrt{3}}S\delta}{h} = \frac{2kS\delta}{\sqrt{3}h}~~[\mathrm{W/K}]\\ \frac{k_H\times \frac{\sqrt{3}}{4}S^2}{h} = \frac{\sqrt{3}k_H S^2}{4h}~~[\mathrm{W/K}] \\ \end{gather}

これらが等しいので，厚み方向の実効熱伝導率kHk_Hは次のように表される．

kH=83kδS\begin{equation} k_H = \frac{8}{3} \frac{k\delta}{S} \end{equation}

面内方向の熱伝導率についても同様の手順で求められる． L方向の熱伝導を，コア材料の熱伝導率kkと，L方向の実効熱伝導率kLk_Lを用いてそれぞれ表すと次のようになる．

k×δh23S=3kδh2S  [W/K]kL×S2h32S=kLh3  [W/K]\begin{gather} \frac{k\times \delta h}{\frac{2}{\sqrt{3}}S} = \frac{\sqrt{3}k\delta h}{2S}~~[\mathrm{W/K}]\\ \frac{k_L\times \frac{S}{2}h}{\frac{\sqrt{3}}{2}S} = \frac{k_L h}{\sqrt{3}}~~[\mathrm{W/K}] \\ \end{gather}

これより，L方向の実効熱伝導率kLk_Lは次のように表される．

kL=32kδS\begin{equation} k_L = \frac{3}{2} \frac{k\delta}{S} \end{equation}

W方向の熱伝導は，コア材料の熱伝導率kkと，W方向の実効熱伝導率kWk_Wを用いると次のように表される．

k×δh23S=3kδh2S  [W/K]kL×S2h32S=kLh3  [W/K]\begin{gather} \frac{k\times \delta h}{\frac{2}{\sqrt{3}}S} = \frac{\sqrt{3}k\delta h}{2S}~~[\mathrm{W/K}]\\ \frac{k_L\times \frac{S}{2}h}{\frac{\sqrt{3}}{2}S} = \frac{k_L h}{\sqrt{3}}~~[\mathrm{W/K}] \\ \end{gather}

これより，W方向の実効熱伝導率kWk_Wは次のように表される．

kW=kδS\begin{equation} k_W = \frac{k\delta}{S} \end{equation}

Swann–Pittman Model

厚み方向の熱伝導率に関しては，Swann-Pittmanモデル2という熱輻射を含んだモデルが引用されることも多い． アイデアとしては，伝導と輻射を考慮したノード熱モデルを作って，最終的にフェイスシート間の温度差と熱流速をもとに実効熱伝導率を求めようというものだ．用いる熱モデルは，フェイスシートを円板，ハニカムコアの壁面形状を円柱で近似し，厚さ方向に10分割した次のようなものを用いる．

このモデルに関する熱伝達の関係を，行列形式でおおよそ次のような形で表すことを考えよう．

[ c ][ΔT]={[ k ][Ti]+[R][T4]+[ q ]}Δt\begin{equation} \left[ ~c~ \right] \left[ \Delta T \right] = \left\{ \left[ ~k~ \right] \left[ T_i \right] + \left[ R \right] \left[ T^4 \right] + [~q~] \right\} \Delta t \end{equation}

左辺と，右辺の熱伝導に関する部分の具体的な行列表記は次のようになる． ただし熱伝導係数はノード間で対称でki,j=kj,ik_{i,j}=k_{j,i}である．

[ c ][ΔT]=[c10000c200⋱00c110000c12][ΔT1ΔT2⋮ΔT11ΔT12][kij][Ti]=[−k1,2k2,100k1,2−k2,1−k2,300⋱00−k11,10−k11,12k12,1100k11,12−k12,11][T1T2⋮T11T12]\begin{gather} \left[ ~c~ \right] \left[ \Delta T \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} c_1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & c_2 & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & c_{11} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & c_{12} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} \Delta T_1 \\ \Delta T_2 \\ \vdots \\ \Delta T_{11} \\ \Delta T_{12} \end{array} \right] \\ \left[ k_{ij} \right] \left[ T_i \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} -k_{1,2} & k_{2,1} & & 0 & 0 \\ k_{1,2} & -k_{2,1}-k_{2,3} & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & -k_{11,10}-k_{11,12} & k_{12,11} \\ 0 & 0 & & k_{11,12} & -k_{12,11} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} T_1 \\ T_2 \\ \vdots \\ T_{11} \\ T_{12} \end{array} \right] \end{gather}

輻射に関する行列[Rij]\left[ R_{ij} \right]は，輻射放熱，各ノードから直接入ってくる輻射熱，1度反射して入ってくる輻射熱，2度反射して入ってくる輻射熱，・・・，を含むので次のように分解しよう．

[R][T4]={[Rout]+[Rin0]+[Rin1]+[Rin2]+⋯ }[T4]\begin{equation} \left[ R \right] \left[ T^4 \right] = \left\{ \left[ R_{\mathrm{out}} \right] + \left[ R_{\mathrm{in0}} \right] + \left[ R_{\mathrm{in1}} \right] + \left[ R_{\mathrm{in2}} \right] + \cdots \right\} \left[ T^4 \right] \end{equation}

各ノードが輻射によって放出する熱量は次のように表される．

[Rout][T4]=−σ[ϵ1A10000ϵ2A200⋱00ϵ11A110000ϵ12A12][T14T24⋮T114T124]=−σ[ ϵ ][A][T4]\begin{gather} \left[ R_{\mathrm{out}} \right] \left[ T^4 \right] = -\sigma \left[ \begin{array}{ccccc} \epsilon_1 A_1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_2 A_2 & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & \epsilon_{11} A_{11} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & \epsilon_{12} A_{12} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} T_1^4 \\ T_2^4 \\ \vdots \\ T_{11}^4 \\ T_{12}^4 \end{array} \right] = -\sigma \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ A \right] \left[ T^4 \right] \end{gather}

各ノード（自分自身も含む）から直接入ってくる輻射熱は次のように表される．

[Rin0][T4]=σ[ϵ1ϵ1A1F1,1ϵ1ϵ2A2F2,1ϵ1ϵ11A11F11,1ϵ1ϵ12A12F12,1ϵ2ϵ1A1F1,2ϵ2ϵ2A2F2,2ϵ2ϵ11A11F11,2ϵ2ϵ12A12F12,2⋱ϵ11ϵ1A1F1,11ϵ11ϵ2A2F2,11ϵ11ϵ11A11F11,11ϵ11ϵ12A12F12,11ϵ12ϵ1A1F1,12ϵ12ϵ2A2F2,12ϵ12ϵ11A11F11,12ϵ12ϵ12A12F12,12][T14T24⋮T114T124]=σ[ ϵ ][F][ ϵ ][A][T4]\begin{align} \left[ R_{\mathrm{in0}} \right] \left[ T^4 \right] &= \sigma \left[ \begin{array}{ccccc} \epsilon_1\epsilon_1 A_1 F_{1,1} & \epsilon_1\epsilon_2 A_2 F_{2,1} & & \epsilon_1\epsilon_{11} A_{11} F_{11,1} & \epsilon_1\epsilon_{12} A_{12} F_{12,1} \\ \epsilon_2\epsilon_1 A_1 F_{1,2} & \epsilon_2\epsilon_2 A_2 F_{2,2} & & \epsilon_2\epsilon_{11} A_{11} F_{11,2} & \epsilon_2\epsilon_{12} A_{12} F_{12,2} \\ & & \ddots & & \\ \epsilon_{11}\epsilon_1 A_1 F_{1,11} & \epsilon_{11}\epsilon_2 A_2 F_{2,11} & & \epsilon_{11}\epsilon_{11} A_{11} F_{11,11} & \epsilon_{11}\epsilon_{12} A_{12} F_{12,11} \\ \epsilon_{12}\epsilon_1 A_1 F_{1,12} & \epsilon_{12}\epsilon_2 A_2 F_{2,12} & & \epsilon_{12}\epsilon_{11} A_{11} F_{11,12} & \epsilon_{12}\epsilon_{12} A_{12} F_{12,12} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} T_1^4 \\ T_2^4 \\ \vdots \\ T_{11}^4 \\ T_{12}^4 \end{array} \right] \\ &= \sigma \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ F \right] \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ A \right] \left[ T^4 \right] \end{align}

各ノードから放出されて，1回反射されたのち入ってくる輻射熱は次のように表される．

[Rin1][T4]=σ[ϵ1F1,1ϵ1F2,1ϵ1F11,1ϵ1F12,1ϵ2F1,2ϵ2F2,2ϵ2F11,2ϵ1F12,2⋱ϵ11F1,11ϵ11F2,11ϵ11F11,11ϵ11F12,11ϵ12F1,12ϵ12F2,12ϵ12F11,12ϵ12F12,12][(1−ϵ1)ϵ1A1F1,1(1−ϵ1)ϵ2A2F2,1(1−ϵ1)ϵ12A12F12,1(1−ϵ2)ϵ1A1F1,2(1−ϵ2)ϵ2A2F2,2(1−ϵ2)ϵ12A12F12,2⋱(1−ϵ11)ϵ1A1F1,11(1−ϵ11)ϵ2A2F2,11(1−ϵ11)ϵ12A12F12,11(1−ϵ12)ϵ1A1F1,12(1−ϵ12)ϵ2A2F2,12(1−ϵ12)ϵ12A12F12,12][T14T24⋮T114T124]=σ[ ϵ ][F][1−ϵ][F][ ϵ ][A][T4]\begin{align} \left[ R_{\mathrm{in1}} \right] \left[ T^4 \right] &= \sigma \left[ \begin{array}{ccccc} \epsilon_1 F_{1,1} & \epsilon_1 F_{2,1} & & \epsilon_1 F_{11,1} & \epsilon_1 F_{12,1} \\ \epsilon_2 F_{1,2} & \epsilon_2 F_{2,2} & & \epsilon_2 F_{11,2} & \epsilon_1 F_{12,2} \\ & & \ddots & & \\ \epsilon_{11} F_{1,11} & \epsilon_{11} F_{2,11} & & \epsilon_{11} F_{11,11} & \epsilon_{11} F_{12,11} \\ \epsilon_{12} F_{1,12} & \epsilon_{12} F_{2,12} & & \epsilon_{12} F_{11,12} & \epsilon_{12} F_{12,12} \\ \end{array} \right] \\ &\hspace{19pt}\left[ \begin{array}{cccc} (1-\epsilon_1)\epsilon_1 A_1 F_{1,1} & (1-\epsilon_1)\epsilon_2 A_2 F_{2,1} & & (1-\epsilon_1)\epsilon_{12} A_{12} F_{12,1} \\ (1-\epsilon_2)\epsilon_1 A_1 F_{1,2} & (1-\epsilon_2)\epsilon_2 A_2 F_{2,2} & & (1-\epsilon_2)\epsilon_{12} A_{12} F_{12,2} \\ & & \ddots & \\ (1-\epsilon_{11})\epsilon_1 A_1 F_{1,11} & (1-\epsilon_{11})\epsilon_2 A_2 F_{2,11} & & (1-\epsilon_{11})\epsilon_{12} A_{12} F_{12,11} \\ (1-\epsilon_{12})\epsilon_1 A_1 F_{1,12} & (1-\epsilon_{12})\epsilon_2 A_2 F_{2,12} & & (1-\epsilon_{12})\epsilon_{12} A_{12} F_{12,12} \\ \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} T_1^4 \\ T_2^4 \\ \vdots \\ T_{11}^4 \\ T_{12}^4 \end{array} \right] \\ &= \sigma \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ A \right] \left[ T^4 \right] \end{align}

2回以上の反射に関しても同様に行列形式で表すことができる．

[Rin2][T4]=σ[ ϵ ][F][1−ϵ][F][1−ϵ][F][ ϵ ][A][T4][Rin3][T4]=σ[ ϵ ][F][1−ϵ][F][1−ϵ][F][1−ϵ][F][ ϵ ][A][T4]\begin{align} \left[ R_{\mathrm{in2}} \right] \left[ T^4 \right] &= \sigma \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ A \right] \left[ T^4 \right] \\ \left[ R_{\mathrm{in3}} \right] \left[ T^4 \right] &= \sigma \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ 1-\epsilon \right] \left[ F \right] \left[ ~\epsilon~ \right] \left[ A \right] \left[ T^4 \right] \end{align}

ただし，簡略化して表した各行列は以下のとおりである． ちなみに形態係数の特徴として，Fi,j≠Fj,iF_{i,j} \neq F_{j,i}であるが，AiFi,j=AjFj,iA_i F_{i,j} = A_j F_{j,i}となる．

[F]=[F1,1F2,1F11,1F12,1F1,2F2,2F11,2F12,2⋱F1,11F2,11F11,11F12,11F1,12F2,12F11,12F12,12],   [A]=[A10000A200⋱00A110000A12][ ϵ ]=[ϵ10000ϵ200⋱00ϵ110000ϵ12],   [1−ϵ]=[1−ϵ100001−ϵ200⋱001−ϵ1100001−ϵ12]\begin{gather} \left[ F \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} F_{1,1} & F_{2,1} & & F_{11,1} & F_{12,1} \\ F_{1,2} & F_{2,2} & & F_{11,2} & F_{12,2} \\ & & \ddots & & \\ F_{1,11} & F_{2,11} & & F_{11,11} & F_{12,11} \\ F_{1,12} & F_{2,12} & & F_{11,12} & F_{12,12} \\ \end{array} \right], ~~~ \left[ A \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} A_1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & A_2 & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & A_{11} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & A_{12} \end{array} \right] \\ \left[ ~\epsilon~ \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} \epsilon_1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & \epsilon_2 & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & \epsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & \epsilon_{12} \end{array} \right], ~~~ \left[ 1-\epsilon \right] = \left[ \begin{array}{ccccc} 1-\epsilon_1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 1-\epsilon_2 & & 0 & 0 \\ & & \ddots & & \\ 0 & 0 & & 1-\epsilon_{11} & 0 \\ 0 & 0 & & 0 & 1-\epsilon_{12} \end{array} \right] \end{gather}

これで，ハニカムコアの熱モデルを作ることができた． 次に問題になるのは，コアのノードも含めて作った熱モデルをどうやって，フェイスシート間の熱伝導の形に押しつぶすかである． 表現したいのはノード1とノード12の関係なので，実効熱伝導率keffk_\mathrm{eff}を次のように表すことを考えよう．ここでAAは（何もない部分も含めた）セルの占める面積，AΔA_\Deltaはコア材料がある面積，kkはコア材料の熱伝導率を表す．

keffAh(T1−T12)=kAΔh(T1−T12)+f(d,h,ϵ1,12,ϵ2...11)(T14−T124)\begin{equation} \frac{k_\mathrm{eff} A}{h} (T_1 - T_{12}) = \frac{k A_\Delta}{h} (T_1 - T_{12}) + f(d, h, \epsilon_{1,12}, \epsilon_{2...11}) (T_1^4 - T_{12}^4) \end{equation}

モデルを表現するのに必要となるパラメタを確認しておこう．

  • dd: (equivalent) diameter of the honeycomb core
  • hh: height of the honeycomb core
  • AΔA_{\Delta}: (equivalent) core thickness
  • AA: area of the honeycomb core
  • kk: thermal conductivity of the honeycomb core material
  • ϵ1,12\epsilon_{1,12}: emissivity of the face sheet
  • ϵ2...11\epsilon_{2...11}: emissivity of the honeycomb core
  • T1T_1: face sheet temperature on one side
  • T12T_{12}: face sheet temperature on the other side

Swann, PittmanのTechnical Note2では，f(λ,ϵ)f(\lambda, \epsilon)がどのような形がよいかをトライアンドエラーで探したところ次の式を使うといい感じだよ，と報告されている． どのようなモチベーションでこの式の形が出てきたのかは謎だが，実用上では便利に用いられているようで，実際この式が様々な論文3 4 5 6で引用されている．

keffAkAΔ=1+0.664(λ+0.3)−0.69ϵ1.63(λ+1)−0.89(T12+T122)(T1+T12)\begin{equation} \frac{k_\mathrm{eff} A}{k A_\Delta} = 1 + 0.664(\lambda+0.3)^{-0.69} \epsilon^{1.63(\lambda+1)^{-0.89}} (T_1^2 + T_{12}^2)(T_1 + T_{12}) \end{equation}
  1. David G. Gilmore, “Spacecraft Thermal Control Handbook. Vol. 1: Fundamental Technologies”, The Aerospace Corporation Press, California, 2002↩
  2. Robert T. Swann, C. M. Pittman, “Analysis of Effective Thermal Conductivities of Honeycomb-Core and Corrugated-Core Sandwich Panels”, NASA TN D-714, 1961↩
  3. K. Daryabeigi, “Heat Transfer in Adhesively Bonded Honeycomb Core Panels”, JOURNAL OF THERMOPHYSICS AND HEAT TRANSFER, Vol. 16, No. 2, April–June 2002↩
  4. W.H. Yang, H.E. Cheng, A. Cai, “Thermal analysis for folded solar array of spacecraft in orbit”, Applied Thermal Engineering 24 (2004) 595–607↩
  5. J. Fatemi, M. H. J. Lemmen, “Effective Thermal/Mechanical Properties of Honeycomb Core Panels for Hot Structure Applications”, JOURNAL OF SPACECRAFT AND ROCKETS, Vol. 46, No. 3, May–June 2009↩
  6. Rongnan Yuan, Shouxiang Lu, “Experimental and numerical study for effective thermal conductivity of metallic honeycomb sandwich structures”, Journal of Sandwich Structures and Materials, 2021, Vol. 23(8) 3540–3557↩