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[量子力学] ブラケット記法と行列表記

April 18, 2020      

ブラケット記法

基本的にブラケット記法と，積分による表記は次のように対応する．

⟨Ψ∣Φ⟩=∫Ψ∗Φdq \begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_11.18} \langle \Psi|\Phi \rangle = \int \Psi^* \Phi dq  \end{equation}

これはヒルベルト空間における内積の定義に対応しているのだが，数学では普通(Φ,Ψ)=∫ΦΨ∗dq(\Phi, \Psi)=\int \Phi \Psi^* dq（Ψ\PsiとΦ\Phiの位置が入れ替わっている）と書くはずだ．内積が満たすべき条件は以下の通りで，(1)がこれらを満たすことが分かる．

(H.1)⟨Ψ∣Φ⟩=⟨Φ∣Ψ⟩∗(H.2)⟨Ψ∣αΦ⟩=α⟨Ψ∣Φ⟩, where α∈ C(H.3)⟨Ψ+Φ∣Θ⟩=⟨Φ∣Θ⟩+⟨Ψ∣Θ⟩(H.4)⟨Ψ∣Ψ⟩≥0(H.5)⟨Ψ∣Ψ⟩=0⇔Ψ=0\begin{align*} \begin{array}{ll} (\mathrm{H}.1) & \langle \Psi|\Phi \rangle = \langle \Phi|\Psi \rangle^* \\ (\mathrm{H}.2) & \langle \Psi|\alpha \Phi \rangle = \alpha \langle \Psi|\Phi \rangle,~ \mathrm{where}~\alpha \in  \mathbb{C}\\ (\mathrm{H}.3) & \langle \Psi + \Phi |\Theta \rangle = \langle \Phi|\Theta \rangle + \langle \Psi|\Theta \rangle \\ (\mathrm{H}.4) & \langle \Psi|\Psi \rangle \ge 0 \\ (\mathrm{H}.5) & \langle \Psi|\Psi \rangle = 0 \Leftrightarrow \Psi = 0 \\ \end{array} \end{align*}

次に(1)の間に演算子XXを入れた表記について定義しておこう．

⟨Ψ∣X∣Φ⟩=∫Ψ∗XΦdq \begin{equation} \langle \Psi|X|\Phi \rangle = \int \Psi^* X \Phi dq  \end{equation}

数学で作用素XXの随伴作用素X†X^\dagは（おおまかに）次のようなものだ．

(XΦ,Ψ)=(Φ,X†Ψ)\begin{equation} (X\Phi, \Psi) = (\Phi, X^\dag \Psi) \end{equation}

これをブラケット記法で書き直してみる．

⟨Ψ∣XΦ⟩=⟨X†Ψ∣Φ⟩=⟨Φ∣X†Ψ⟩∗⟨Ψ∣X∣Φ⟩=⟨Φ∣X†∣Ψ⟩∗\begin{align} \langle \Psi | X\Phi \rangle &= \langle X^\dag \Psi | \Phi \rangle \\ &= \langle \Phi | X^\dag \Psi \rangle^* \\ \langle \Psi | X| \Phi \rangle &= \langle \Phi | X^\dag| \Psi \rangle^* \end{align}

これより，もしXXがエルミート演算子であれば，以下のように書いてしまってよいことが分かる．

⟨Ψ∣X∣Φ⟩=⟨Φ∣X∣Ψ⟩∗∫Ψ∗XΦdq=(∫Φ∗XΨdq)∗=∫ΦX∗Ψ∗dq=∫(X∗Ψ∗)Φdq\begin{gather} \langle \Psi | X| \Phi \rangle = \langle \Phi | X| \Psi \rangle^* \\ \int \Psi^* X \Phi dq = \left( \int \Phi^* X \Psi dq \right)^* = \int \Phi X^* \Psi^* dq = \int (X^* \Psi^*) \Phi dq \end{gather}

行列表記

ある物理量fに対応する演算子は行列によって表すことができる．ここで物理量fは離散的なエネルギースペクトルを持ち，任意の波動関数をΨ=∑nanΨn\Psi = \sum_n a_n \Psi_nのように分解することができるものとしよう．物理量fの平均はfˉ=∫Ψ∗(fΨ)dq\bar{f} = \int \Psi^* (f \Psi) dqと定義されたが，これをスペクトルに分解した形で書き直すと次のように表される．

fˉ=∫Ψ∗(f^Ψ)dq=∫(∑nan∗Ψn∗)f^(∑mamΨm)dq=∑n∑man∗am(∫Ψn∗f^Ψmdq ) =∑n∑man∗amfnm(t)\begin{align} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_11.1} \bar{f} &= \int \Psi^* (\hat{f} \Psi) dq = \int \left( \sum_n a_n^* \Psi_n^* \right) \hat{f} \left( \sum_m a_m \Psi_m \right) dq \\ &= \sum_n \sum_m a_n^* a_m \left( \int \Psi_n^* \hat{f} \Psi_m dq  \right)  = \sum_n \sum_m a_n^* a_m f_{nm}(t) \end{align}

このときfnmf_{nm}は物理量fの行列である．ブラケット記法との対応は以下のように表される．

fnm=⟨n∣f∣m⟩\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_11.17} f_{nm} = \langle n | f | m \rangle \end{equation}