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[量子力学] 運動量

April 19, 2020      

運動量の演算子

外部場のない粒子について考えよう．このとき，系が平行移動したとしてもハミルトニアンは変化しない．演算子O^\hat{O}を平行移動の演算子とすると，このことはO^(H^ψ)=H^ (O^ψ)\hat{O} (\hat{H} \psi) = \hat{H} (\hat{O} \psi)と表せる．つまり，ハミルトニアンとO^\hat{O}はcommute（可換）である．

O^H^−H^O^=0\begin{equation} \hat{O} \hat{H} - \hat{H} \hat{O} = 0 \end{equation}

ここで，移動量を微小とすれば次の関係が成り立つことが分かる．ただしaaは粒子の番号である．(2)は量子系における運動量の保存を表している．

(∑a∇a)H^−H^(∑a∇a)=0\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_15.1} (\sum_a \nabla_a) \hat{H} - \hat{H} (\sum_a \nabla_a) = 0 \end{equation}

ここで，運動量の演算子をp^=c∇\hat{\boldsymbol{p}}=c\nablaとおいて，準古典的な系の波動関数Ψ=aeiS/ℏ\Psi=ae^{iS/\hbar}に作用させてみる．

p^Ψ=c∇(aeiS/ℏ)=ciℏaeiS/ℏ∇S=ciℏΨ∇S\begin{equation} \hat{\boldsymbol{p}} \Psi = c\nabla (a e^{iS/\hbar}) = c\frac{i}{\hbar} a e^{iS/\hbar} \nabla S = c\frac{i}{\hbar} \Psi \nabla S \end{equation}

解析力学から∇S\nabla Sは運動量ppなので，c=ℏ/i=−iℏc=\hbar/i=-i\hbarとなる．よって運動量の演算子は次のように表される．

p^=−iℏ∇p^x=−iℏ∂∂x,  p^y=−iℏ∂∂y,  p^z=−iℏ∂∂z\begin{gather} \hat{\boldsymbol{p}} = - i \hbar \nabla \\ \hat{p}_x = - i\hbar \frac{\partial}{\partial x}, ~~\hat{p}_y = - i\hbar \frac{\partial}{\partial y}, ~~ \hat{p}_z = - i\hbar \frac{\partial}{\partial z} \end{gather}

運動量の固有関数

運動量演算子に対応する固有関数をみつけよう．

−iℏ∂ψ∂x=pxψ,  −iℏ∂ψ∂y=pyψ,  −iℏ∂ψ∂z=pzψ\begin{equation} -i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial x} = p_x \psi, ~~ -i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial y} = p_y \psi, ~~ -i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial z} = p_z \psi \end{equation}

ためしに，一つ目の式にψ=Ceax\psi = Ce^{ax}を代入してみると，以下の関係が得られる．

−iℏaCeax=pxCeax → a=ipxℏ, ψ=C(y,z)eiℏpxx \begin{equation*} -i\hbar a C e^{ax} = p_x C e^{ax} ~\to~ a = \frac{ip_x}{\hbar}, ~ \psi = C(y,z) e^{\frac{i}{\hbar}p_x x}  \end{equation*}

同様の関係がy,zy, zにも成り立つので，固有関数は次のような形になるはずだ．

ψ=Ceiℏ(pxx+pyy+pzz)=Ceiℏp⋅r\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_15.5} \psi = C e^{\frac{i}{\hbar} (p_x x + p_y y + p_z z)} = C e^{\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}} \end{equation}

また，波動関数は正規化条件を満たすべきなので，これをもとに(6)の定数CCを決定する．ただしdV=dxdydzdV = dxdydzである．

∫ψp′ψp∗ dV=C2∫eiℏ(p′−p)⋅rdV=C2(∫eiℏ(px′−px)xdx)(∫eiℏ(py′−py)ydy)(∫eiℏ(pz′−pz)zdz)=C2(2πℏ)3δ(px′−px)δ(py′−py)δ(pz′−pz)=C2(2πℏ)3δ(p′−p)\begin{align*} &\int \psi_{p'} \psi_{p}^* ~dV = C^2 \int e^{\frac{i}{\hbar} (\boldsymbol{p}'-\boldsymbol{p}) \cdot \boldsymbol{r}} dV = C^2 \left( \int e^{\frac{i}{\hbar}(p'_x - p_x)x}dx \right) \left( \int e^{\frac{i}{\hbar}(p'_y - p_y)y}dy \right) \left( \int e^{\frac{i}{\hbar}(p'_z - p_z)z}dz \right) \\ &= C^2 (2\pi \hbar)^3 \delta(p'_x - p_x) \delta(p'_y - p_y) \delta(p'_z - p_z) = C^2 (2\pi \hbar)^3 \delta (\boldsymbol{p}' - \boldsymbol{p}) \end{align*}

これよりC2(2πℏ)3=1C^2 (2\pi\hbar)^3 = 1であるべきである．ただし，デルタ関数に関しては以下の表式を用いて変形している．

δ(x)=12π∫−∞∞eikxdk=12πℏ∫−∞∞eik′ℏxdk′,  where  k=k′ℏ\begin{align} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_15.7} \delta (x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} dk \\ &= \frac{1}{2\pi\hbar} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\frac{k'}{\hbar}x} dk', ~~ \mathrm{where}~~ k = \frac{k'}{\hbar} \end{align}

よって規格化された固有関数は以下の通り．

ψp=1(2πℏ)3/2eiℏp⋅r\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_15.5} \psi_p = \frac{1}{(2\pi \hbar)^{3/2}} e^{\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{r}} \end{equation}

これを位置r\boldsymbol{r}の関数としてみれば，運動量p/ℏ\boldsymbol{p}/\hbarが周波数となっている．これを用いると，ある位置のみを変数にもつ波動関数ψ(r)\psi(\boldsymbol{r})をフーリエ変換して，運動量領域での表示に変換することが出来る．

a(p)\begin{equation} % \label{eq:LandauLifshitzQuantum_15.5} a(\boldsymbol{p}) \end{equation}

これを用いてフーリエ逆変換してやれば，波動関数ψ(r)\psi(\boldsymbol{r})を再構成できて，運動量の固有関数で（連続的に）展開した形と見ることが出来る．

ψ(r)=∫a(p)ψp(r)d3p,  where  a(p)=∫ψ(r)ψp∗(r)dV\begin{equation} \psi(r) = \int a(p) \psi_p(r) d^3p, ~~\mathrm{where}~~ a(p) = \int \psi(r) \psi_p^*(r) dV \end{equation}