Rendering of a cylinder

Equation of a cylinder

まず円柱を表す式について確認する．下図において，p1が3次元座標の原点，p2がz軸上にある場合，無限に長い円柱は以下の式で表される．

\begin{matrix} (1) & x^{2} + y^{2} = r^{2} \end{matrix}

円柱のローカルな基底は以下のように求められる．これらは一般に，グローバル座標系の基底とは向きが異なり，原点も別の位置にある．

\begin{matrix} (2) & R_{X} = \frac{p_{3} - p_{1}}{| p_{3} - p_{1} |}, R_{Z} = \frac{p_{2} - p_{1}}{| p_{2} - p_{1} |}, R_{Y} = R_{Z} \times R_{X} \end{matrix}

ローカル座標 $(X, Y, Z)$ からグローバル座標 $(x, y, z)$ への変換は以下のように表される．

\begin{matrix} (3) & [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{array}{ccc} R_{X} & R_{Y} & R_{Z} \end{array}] [\begin{matrix} X \\ Y \\ Z \end{matrix}] + p_{1} \end{matrix}

一般の位置・方向の円柱を式で表すと複雑になるので，(1)で表された円柱と直線の交点を求めよう．

\begin{matrix} (4) & [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = [\begin{matrix} x_{o} \\ y_{o} \\ z_{o} \end{matrix}] + t [\begin{matrix} u_{l} \\ v_{l} \\ w_{l} \end{matrix}] \end{matrix}

直線(3)をローカル座標に変換すると，(4)の形に書き換えられる．

\begin{matrix} (5) & [\begin{matrix} X \\ Y \\ Z \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{o} \\ Y_{o} \\ Z_{o} \end{matrix}] + t [\begin{matrix} U_{l} \\ V_{l} \\ W_{l} \end{matrix}], where [\begin{matrix} X_{o} \\ Y_{o} \\ Z_{o} \end{matrix}] = {[\begin{array}{ccc} R_{X} & R_{Y} & R_{Z} \end{array}]}^{T} {[\begin{matrix} x_{o} \\ y_{o} \\ z_{o} \end{matrix}] - p_{1}}, [\begin{matrix} U_{l} \\ V_{l} \\ W_{l} \end{matrix}] = {[\begin{array}{ccc} R_{X} & R_{Y} & R_{Z} \end{array}]}^{T} [\begin{matrix} u_{l} \\ v_{l} \\ w_{l} \end{matrix}] \end{matrix}

これを(1)に代入し，tについての2次方程式を解くと，円柱と直線の交点がローカル座標で求められる．

\begin{matrix} (6) & (X_{o} + t U_{l})^{2} + (Y_{o} + t V_{l})^{2} = r^{2} \\ (7) & (U_{l}^{2} + V_{l}^{2}) t^{2} + 2 (X_{o} U_{l} + Y_{o} V_{l}) t + X_{o}^{2} + Y_{o}^{2} - r^{2} = 0 \end{matrix}

交点の数は判別式を用いて確認できる．

\begin{matrix} (8) & D = (X_{o} U_{l} + Y_{o} V_{l})^{2} - (U_{l}^{2} + V_{l}^{2}) (X_{o}^{2} + Y_{o}^{2} - r^{2}) \end{matrix}

交点が存在する場合，対応するtは以下のように求められる．

\begin{matrix} (9) & t_{\pm} = \frac{- (X_{o} U_{l} + Y_{o} V_{l}) \pm \sqrt{D}}{U_{l}^{2} + V_{l}^{2}} \end{matrix}

これより交点のローカル座標は以下のように表される．

\begin{matrix} (10) & [\begin{matrix} X_{\pm} \\ Y_{\pm} \\ Z_{\pm} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{o} \\ Y_{o} \\ Z_{o} \end{matrix}] + t_{\pm} [\begin{matrix} U_{l} \\ V_{l} \\ W_{l} \end{matrix}] \end{matrix}

得られた交点が，円柱の特定の一部に含まれるかは，以下の条件を確認すればよい．

\begin{matrix} (11) & 0 \leq z \leq | p_{2} - p_{1} | \end{matrix}

\begin{matrix} (12) & start_angle \leq θ \leq end_angle, where θ = atan 2 (y, x) \end{matrix}