まず放物面を表す式について確認する．下図において，p1が3次元座標の原点，p2がz軸上にある場合，放物面は以下の式で表される．
$$ \begin{equation} X^2 + Y^2 = aZ, ~~ \mathrm{where} ~~ a = \frac{\mathrm{radius}^2}{|\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1|} \tag{1} \end{equation} $$
放物面のローカルな基底は以下のように求められる．
$$ \begin{equation} \boldsymbol{R}_\mathrm{X} = \frac{\boldsymbol{p}_3-\boldsymbol{p}_1}{|\boldsymbol{p}_3-\boldsymbol{p}_1|}, ~~ \boldsymbol{R}_\mathrm{Z} = \frac{\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1}{|\boldsymbol{p}_2-\boldsymbol{p}_1|}, ~~ \boldsymbol{R}_\mathrm{Y} = \boldsymbol{R}_\mathrm{Z} \times \boldsymbol{R}_\mathrm{X} \tag{2} \end{equation} $$一般の位置・方向の放物面を式で表すと複雑になるので，(1)で表された放物面と直線の交点を求めよう．
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_\mathrm{o} \\ y_\mathrm{o} \\ z_\mathrm{o} \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{c} u_l \\ v_l \\ w_l \end{array} \right] \tag{4} \end{equation} $$直線(3)をローカル座標に変換すると，(4)の形に書き換えられる．
$$ \begin{gather} \left[ \begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} X_\mathrm{o} \\ Y_\mathrm{o} \\ Z_\mathrm{o} \end{array} \right] + t \left[ \begin{array}{c} U_l \\ V_l \\ W_l \end{array} \right], ~~ \mathrm{where}~ \left[ \begin{array}{c} X_\mathrm{o} \\ Y_\mathrm{o} \\ Z_\mathrm{o} \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \boldsymbol{R}_\mathrm{X} & \boldsymbol{R}_\mathrm{Y} & \boldsymbol{R}_\mathrm{Z} \end{array} \right]^\mathrm{T} \left\{ \left[ \begin{array}{c} x_\mathrm{o} \\ y_\mathrm{o} \\ z_\mathrm{o} \end{array} \right] - \boldsymbol{p}_1 \right\} ~\mathrm{and}~ \left[ \begin{array}{c} U_l \\ V_l \\ W_l \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} \boldsymbol{R}_\mathrm{X} & \boldsymbol{R}_\mathrm{Y} & \boldsymbol{R}_\mathrm{Z} \end{array} \right]^\mathrm{T} \left[ \begin{array}{c} u_l \\ v_l \\ w_l \end{array} \right] \tag{5} \end{gather} $$これを(1)に代入し，tについての2次方程式を解くと，放物面と直線の交点がローカル座標で求められる．
$$ \begin{gather} (X_\mathrm{o} + tU_l)^2 + (Y_\mathrm{o} + tV_l)^2 = a(Z_\mathrm{o} + tW_l) \tag{6} \\ (U_l^2 + V_l^2) t^2 + 2(X_\mathrm{o}U_l + Y_\mathrm{o}V_l - \frac{a}{2} W_l)t + X_\mathrm{o}^2 + Y_\mathrm{o}^2 - a Z_\mathrm{o} = 0 \tag{7} \end{gather} $$交点の数は判別式を用いて確認できる．
$$ \begin{equation} D = (X_\mathrm{o}U_l + Y_\mathrm{o}V_l - a W_l)^2 - (U_l^2 + V_l^2)(X_\mathrm{o}^2 + Y_\mathrm{o}^2 - a Z_\mathrm{o}) \tag{8} \end{equation} $$交点が存在する場合，対応するtは以下のように求められる．
$$ \begin{equation} t_\pm = \frac{-(X_\mathrm{o}U_l + Y_\mathrm{o}V_l - a W_l) \pm \sqrt{D}}{U_l^2 + V_l^2} \tag{9} \end{equation} $$これより交点のローカル座標は以下のように表される．
$$ \begin{equation} \left[ \begin{array}{c} X_\pm \\ Y_\pm \\ Z_\pm \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} X_\mathrm{o} \\ Y_\mathrm{o} \\ Z_\mathrm{o} \end{array} \right] + t_\pm \left[ \begin{array}{c} U_l \\ V_l \\ W_l \end{array} \right] \tag{10} \end{equation} $$得られた交点が，放物面の特定の一部に含まれるかは，以下の条件を確認すればよい．
$$ \begin{equation} 0 \le Z \le |\boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_1| \tag{11} \end{equation} $$ $$ \begin{equation} \mathrm{start\_angle} \le \theta \le \mathrm{end\_angle}, ~~ \mathrm{where}~~ \theta = \mathrm{atan2}(Y, X) \tag{12} \end{equation} $$放物面上のある点における接線の傾きは以下のように表される．
$$ \begin{equation} Z = \frac{2}{a} \sqrt{X^2 + Y^2} \tag{13} \end{equation} $$これより法線方向への傾きは次のように表すことが出来る．
$$ \begin{equation} Z = -\frac{a}{2\sqrt{X^2 + Y^2}} \tag{14} \end{equation} $$